MỘT PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG DÃY SỐ ĐƠN GIẢN

Tháng Mười 18, 2017 9:38 sáng

A.Đặt vấn đề:

Như chúng ta đã biết, hiện nay với nhiều loại máy tính cầm tay thế hệ mới với nhiều chức năng vượt trội. Nên việc tính toán rất dơn giản nhất là nhiều biểu thức mà trước đây khá phức tạp, tuy nhiên trong giảng dạy,học tập không phải lúc nào cũng chỉ cho kết quả mà phải có lời giải. Từ lâu việc tính tổng các dãy số có quy luật đã có nhiều nhiều phương pháp, nhiều công thức. Các công thức đó chỉ giúp chúng ta tìm ra kết quả, trong giảng dạy theo tôi cần nhiều hơn thế. Sau đây tôi xin đưa ra một vài thủ thuật nhỏ giúp thực hiện giải các bài toán kiểu tính tổng các dãy số có quy luật đơn giản và hiệu quả để các đồng nghiệp tham khảo.

B.Nội dung :

  1. Các bài toán có quy luật tường minh:
  2. Tính tổng: A = 1 + 2 + 3 +…..+ n có n số hạng  ( n € N*  )

Ta thấy có quy luật số hạng sau hơn số hạng trước 1 đv( n và n+1) và số hạng đầu tiên là 1 nhân 2 vế của A với 2 Ta có:

2A = 1.2 + 2. 2 + 3.2+…+ n.2

2A = 1.2 + 2(3 -1) + 3(4 -2) +…+ n (n+1)-(n-1)    (từ số hạng thứ 2 : 2 = 3 – 1)

2A = 1.2 – 1.2 + 2.3 -2.3 + 3.4 – ….- n( n -1) + n( n +1)

2A = n(n + 1)

A =n(n + 1)/2

  1. Tính tổng: B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ….+ n ( n+1); có n số hạng  ( n € N*  )

Với quy luật số hạng đầu tiên “1.2” ta nhân 2 vế của B với 3 ta có:

3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3+….+ n(n+1).3

3B = 1.2.3 + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) + … + n(n+1)(n+2)-(n-1)

( Từ số hạng thứ 2: 3 = 4-1)

3B = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 + 3.4.5- …- (n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2)

3B = n(n+1)(n+2)

⇒ B = n(n+1)(n+2)/3

  1. Tính tổng: C = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …+ n(n+1)(n+2) có n số hạng ( n € N*  )

Ta thấy quy luật của số hạng đầu tiên là 1.2.3 ta nhân 2 vế của C với 4 ta có:

4C = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 +…+ n(n+1)(n+2).4

4C = 1.2.3.4+ 2.3.4(5-1) + 3.4.5(6-2) +…+n(n+1)(n+2) (n+3)-(n-1)

4C = 1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + 3.4.5.6 -….- (n-1)n(n+1)(n+2)+

n(n+1)(n+2)(n+3)   ( từ số hạng thứ 2 : 4 = 5-1)

4C = n(n+1)(n+2)(n+3)

⇒ C =n(n+1)(n+2)(n+3) / 4

  1. Tính tổng: D = 12 + 22   + 32  + …+ n2      có n số hạng     với   ( n € N*  )

Ta phân tích số hạng tổng quát : n2  = n2  + n – n  = n( n + 1) – n

Từ đó ta có: 12  = 1.2 – 1

22  = 2.3 – 2

32  = 3.4 – 3

………….

n2     = n(n+1) – n

⇒ D  = 1. 2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + …+ n(n+1) – n

= 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n(n+1) – ( 1 + 2 + 3 +…+ n)

= B – A = n(n+1)(n+2)/3 – n(n + 1)/2  = n(n+1)(2n+1)/6

  1. Tính tổng: E = 13 + 2 3  + 33  +…+ n3     có n số hạng   với   (n € N*)

Ta phân tích từ số hạng tỏng quát: n3  = n3   – n + n = n(n3  -1) + n  = (n-1)n(n+1) + n

Khi đó ta có: 13  = 1

23  = 1.2.3 + 2

33  = 2.3.4 + 3

…………….

n3  = (n -1)n( n +1) + n

⇒ E = 1 + 1.2.3 + 2 + 2.3.4 + 3 +…+ (n-1)n(n+1) + n

= { 1.2.3 + 2.3.4 +(n-1)n(n+1) } / (có n-1 số hạng) + (1+2+3+…+n)/(n số hạng)

= C’ + A = {(n-1)n(n+1)(2+2) }/4 + n(n+1)/2  ={ n2(n+1)2 }/4 = {n(n+1)/2}2

  1. Các bài toán có quy luật chưa tường minh:
  2. Cho tổng sau : F = 2.3 + 3.5 + 4. 7 + 5. 9 + …+ 2017.4033

a, Tìm công thức tổng quát số hạng thứ n của tổng trên và cho biết tổng trên có bao nhiêu số hạng.

b, Tính tổng F

   Cách 1: Mỗi số hạng của F là 1 tích có các thừa số đầu là: 2,3,4,5….2017 nên tổng F có 2016 số hạng và số hạng tổng quát là n+1 với ( n € N*  ); n > 1. Còn các thừa số thứ 2 là: 3,5,7,9,…, 4033 là các số lẻ có số hạng tổng quát là : 2n + 1 với ( n € N*  );   n >= 1. Từ đó ta có công thức tổng quát của số hạng thứ n là : (n+1)(2n+1).

 

* Lưu ý: khi giả hệ phương trình tìm ra số hạng tổng quát cần thử với các số hạng còn lại

    b, Tính tổng F:

F’= 2.3 + 3.5 + 4.7 + 5.9 +…+ (n+1)(2n+1)    với ( n € N*  ); n >= 1

Cách 1: Ta có (n+1)(2n+1) = (n+1)(n+1+n)= (n+1)2  +n(n+1)

Khi đó : 2.3 = 22  +1.2   

3.5 = 32  + 2.3

4.7 = 42  + 3.4

5.9 = 52  +4.5

…………….

(n+1)(2n+1) = (n+1)  + n(n+1)

⇒ F’ = 22  + 1.2 + 32  + 2.3 + 42  + 3.4 +….+ (n+1)2  + n(n+1)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 +….. n(n+1) + {22  + 32  + 42  +…+(n+1)2}

Tính tổng F’ sau đó thay n = 2016 ta được tổng F.

Cách 2: Ta có số hạng tổng quát (n+1)(2n+1) = 2n2  + 3n +1

⇒2.3 = 2. 12  + 3.1 +1

3.5 = 2.22  + 3.2 +1

4.7 = 2. 32  + 3.3 +1

……………………

(n+1)(2n+1) = 2.n2  + 3.n +1

⇒ F’= 2( 12  + 22  + 32  +…+ n2  ) + 3( 1+2+3+…+n) + n

Với cách tính như trên chúng ta có thể tính tổng của nhiều dãy số có quy luật phức tạp.

                                                                                                                            Nguồn :

                                                                                                                Giáo viên: Cao Văn Thế

                                                                                                                  THCS Quảng Tiến